数列极限敛散性的判定基本思路与方法总结与参考课件节选
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1、数列极限的四则运算法则
特别注意参与运算的数列要求极限都存在,并且作为分母的数列的项和极限值都不能等于零!乘以一个非零常数不改变数列的敛散性!
2、子数列
子数列是从原数列中选取无穷多项,并按原来的先后顺序组成新的数列.
(1)原数列收敛,则它的任何子数列都收敛,并且极限值相同。由此可得判定数列发散的方法:
●数列存在一个发散子数列,则数列发散;
●数列存在两个收敛于不同极限值的子数列,则数列发散。
(2)由子数列判定原数列收敛的定理(拉链定理)数列收敛的充要条件是它的奇数项构成的子数列{a2n-1}与偶数项构成的子数列{a2n}两个子数列收敛且极限相同。
3、夹逼定理
如果xn≤an≤yn (n=N,N+1,…,即某一项之后满足),且数列{xn}和{yn}收敛到相同极限值,则数列{an}收敛且极限值相同.
4、单调有界原理
单调有界数列必有极限。(单调递增有上界,单调递减有下界)
【注】不需要严格单调。
5、一个重要极限
6、判定、验证递推数列存在极限并求极限值的常用思路:
(1)基于单调有界原理判定极限存在,对递推关系式两端取极限求得极限值。单调性的判定常用比值法、差值法、数学归纳法或函数的单调性;有界性的判定常用基本不等式或数学归纳法等。
(2)基于夹逼定理的定义法。即先假设极限存在,基于递推关系式计算极限值,然后基于递推关系式,基于极限的定义法,借助夹逼定理验证所求极限值即为数列的极限。即基于夹逼定理与数列的有界性(下界或上界),借助递推关系式,包括计算得到的极限值满足的等式关系,对|an-a|进行放大处理,得
|an-a|≤f(n)→0(n→∞)
即验证假设成立。
具体应用参见推荐列表文章!
数列极限敛散性的判定方法部分课件节选:
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●递推数列存在极限的证明与极限值求解方法(一)——单调有界原理
●递推数列极限存在证明与极限值求解方法(二)——夹逼准则(定义法)
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